У 2009 года есть такое свойство: меняя местами цифры числа 2009, нельзя получить меньшее четырехзначное число (с нуля числа не начинаются). В каком году это свойство впервые повторится снова?

   Решение

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      

Пусть $\gamma_A$, $\gamma_B$, $\gamma_C$ – вневписанные окружности треугольника $ABC$, касающиеся сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Обозначим через $l_A$ общую внешнюю касательную окружностей $\gamma_B$ и $\gamma_C$, отличную от $BC$. Аналогично определим $l_B$, $l_C$. Из точки $P$, лежащей на $l_A$, проведем отличную от $l_A$ касательную к $\gamma_B$ и найдем точку $X$ ее пересечения с $l_C$. Аналогично найдем точку $Y$ пересечения касательной из $P$ к $\gamma_C$ с $l_B$. Докажите, что прямая $XY$ касается $\gamma_A$.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число , называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число : , называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

Прислать комментарий

Решение

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]