Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]

Задача 58428

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Проективное преобразование некоторую окружность переводит в себя, а ее центр оставляет на месте. Докажите, что это — поворот или симметрия.

Прислать комментарий Решение

Задача 58429

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Даны две параллельные прямые a, b и точка O. Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее построение. Проведем через M произвольную прямую l, не проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть M' — точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной OB и проходящей через A.
а) Докажите, что точка M' не зависит от выбора прямой l.
б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку M в точку M', является проективным.

Прислать комментарий Решение

Задача 58430

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x, y) отображает в точку с координатами $\left(\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right.$ ${\frac{1}{x}}$ , ${\frac{y}{x}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right)$ , является проективным.

Прислать комментарий Решение

Задача 58431

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Пусть O — центр линзы, $\pi$ — некоторая плоскость, проходящая через ее оптическую ось a и f — прямые пересечения плоскости $\pi$ с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (a| f ). В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение M' точки M, лежащей в плоскости $\pi$ , строится следующим образом (рис.). Проведем через точку M произвольную прямую l; пусть A — точка пересечения прямых a и l, B — точка пересечения прямой f с прямой, проходящей через O параллельно l. Тогда M' есть точка пересечения прямых AB и OM. Докажите, что преобразование плоскости $\pi$ , сопоставляющее каждой точке ее изображение, является проективным.
Таким образом, через увеличительное стекло мы видим образ нашего мира при проективном преобразовании.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67240

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Проективные преобразования плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бибиков П.

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]