Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]

Задача 116206

Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Волчкевич М.А.

Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116694

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5
Классы: 10

Автор: Заславский А.А.

Дан остроугольный треугольник ABC. Для произвольной прямой l обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, а через I_l – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек I_l.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97806

Темы:	[	Комбинаторика (прочее)	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Концевич М.

k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и k ≤ n почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65045

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116252

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по 5 шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]