Каталог по темам

Задачи

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 368]

Задача 60760

Темы:	[	Функция Эйлера	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Функция Эйлера φ(n) определяется как количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n.
Основным свойством функции Эйлера является её мультипликативность.
Для взаимно простых a и b рассмотрим таблицу

В каких столбцах этой таблицы находятся числа взаимно простые с числом b?
Сколько в каждом из этих столбцов чисел взаимно простых с a?
Докажите мультипликативность функции Эйлера, ответив на эти вопросы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60781

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть p > 2 – простое число. Докажите, что 7^p – 5^p – 2 делится на 6p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60787

Темы:	[	Теорема Эйлера	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите все целые числа a, для которых число a¹⁰ + 1 делится на 10.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60893

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите последние три цифры периодов дробей ¹/₁₀₇, ¹/₁₃₁, ¹/₁₅₁. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 65638

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Клепцын В.А.

Буратино выложил на стол 2016 спичек и предложил Арлекину и Пьеро сыграть в игру, беря по очереди спички со стола: Арлекин может своим ходом брать либо 5 спичек, либо 26, а Пьеро – либо 9, либо 23. Не дождавшись начала игры, Буратино ушел, а когда он вернулся, партия уже закончилась. На столе осталось две спички, а проиграл тот, кто не смог сделать очередной ход. Хорошенько подумав, Буратино понял, кто ходил первым, и кто выиграл. Выясните это и вы!

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 368]