Пусть $E$ – проекция вершины $C$ прямоугольника $ABCD$ на диагональ $BD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $AEB$ и $AED$ пересекаются на окружности $AEC$.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 72]      

Окружность S_A проходит через точки A и C; окружность S_B проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей S_A и S_B, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C₁. Докажите, что CC₁ — биссектриса треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $E$ – проекция вершины $C$ прямоугольника $ABCD$ на диагональ $BD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $AEB$ и $AED$ пересекаются на окружности $AEC$.

Прислать комментарий

Решение

Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке AB взята точка C и на отрезках AB , BC , CA как на диаметрах построены соответственно полуокружности α , β , γ по одну сторону от AC . В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность δ1 , в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ1 , вписана окружность δ2 и т.д. (окружность δ_n вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ_n-1 , n=2,3, .. ). Пусть r_n — радиус окружности δ_n , d_n — расстояние от центра окружности δ_n до прямой AB . Докажите, что = 2n .

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB (С - точка на дуге AB) этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и дуги ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Общие внешние касательные к окружностям $ABC$ и $ACD$ пересекаются в точке $E$, к окружностям $ABD$ и $BCD$ – в точке $F$. Докажите, что если точка $F$ лежит на прямой $AC$, то точка $E$ лежит на прямой $BD$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 72]