Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.
Решение
Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если N > [k!e], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.
Решение
Окружности σB, σC – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон
AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ωB симметрична σB относительно середины стороны AC, окружность ωC симметрична σC относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ωB и ωC, делит периметр треугольника ABC пополам.
Решение
На доске написано: x³ + ...x² + ...x + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
Решение
Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен
график функции
y = 2
x?
Решение
В пространстве расположен правильный додекаэдр. Сколькими способами можно
провести плоскость так, чтобы она высекла на додекаэдре правильный
шестиугольник?
Решение
Фильтр
