Каталог по темам

Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 185]

Задача 73610

Темы:	[	Обходы многогранников	]
	[	Параллельное проектирование (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Кушниренко А.Г.

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это. (Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.

в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.

г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.

Прислать комментарий Решение

Задача 35145

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Существует ли тетраэдр, высоты которого равны 1, 2, 3 и 6?

Прислать комментарий

Решение

Задача 87106

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней.

Прислать комментарий Решение

Задача 79521

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Углы, образованные сторонами правильного треугольника с некоторой плоскостью, равны α, β и γ. Доказать, что одно из чисел sin α, sin β, sin γ равно сумме двух других.

Прислать комментарий Решение

Задача 76522

Темы:	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Задачи на максимум и минимум (прочее)	]
	[	Ортогональная проекция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$ . На линии их пересечения дана точка A. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости $\alpha$ и проходящих через точку A, наибольший угол с плоскостью $\beta$ образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 185]