Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 79]
Пусть
(
![$ \alpha$](show_document.php?id=600903)
:
![$ \beta$](show_document.php?id=600905)
:
![$ \gamma$](show_document.php?id=600900)
) — абсолютные барицентрические координаты
точки
X;
M — центр масс
треугольника
ABC.
Докажите, что
3
![$ \overrightarrow{XM}$](show_document.php?id=600888)
= (
![$ \alpha$](show_document.php?id=600903)
-
![$ \beta$](show_document.php?id=600905)
)
![$ \overrightarrow{AB}$](show_document.php?id=600899)
+ (
![$ \beta$](show_document.php?id=600905)
-
![$ \gamma$](show_document.php?id=600900)
)
![$ \overrightarrow{BC}$](show_document.php?id=600906)
+ (
![$ \gamma$](show_document.php?id=600900)
-
![$ \alpha$](show_document.php?id=600903)
)
![$ \overrightarrow{CA}$](show_document.php?id=600896)
.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Дана система из
n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух
точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка
перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки
такой системы лежат на одной окружности.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
n отрезков
A1 B1 ,
A2 B2 ,
... ,
An Bn (рис. 5) расположены
на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных
прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку
G (не
лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных
в точках
A1 ,
A2 ,
... ,
An . Докажите, что
+
+...+
=n.
На сторонах
AB,
BC,
CD и
DA выпуклого четырехугольника
ABCD
взяты точки
K,
L,
M и
N соответственно, причем
AK :
KB =
DM :
MC =
![$ \alpha$](show_document.php?id=600576)
и
BL :
LC =
AN :
ND =
![$ \beta$](show_document.php?id=600577)
. Пусть
P —
точка пересечения отрезков
KM и
LN. Докажите, что
NP :
PL =
![$ \alpha$](show_document.php?id=600576)
и
KP :
PM =
![$ \beta$](show_document.php?id=600577)
.
Найдите внутри треугольника
ABC точку
O, обладающую следующим
свойством: для любой прямой, проходящей через
O и пересекающей
сторону
AB в точке
K и сторону
BC в точке
L, выполнено равенство
p![$ {\frac{AK}{KB}}$](show_document.php?id=600580)
+
q![$ {\frac{CL}{LB}}$](show_document.php?id=600581)
= 1, где
p и
q — данные положительные
числа.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 79]