Рассматривается числовой треугольник:

(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.

   Решение

Докажите, что два соседних числа Фибоначчи F_n–1 и F_n  (n ≥ 1)  взаимно просты.

   Решение

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

   Решение

Последовательность натуральных чисел {x_n} строится по следующему правилу:  x₁ = 2,  ...,  x_n = [1,5x_n–1].
Доказать, что последовательность  y_n = (–1)^x_n  непериодическая.

   Решение

Дана бесконечная последовательность чисел a₁, ..., a_n, ... Она периодична с периодом 100, то есть  a₁ = a₁₀₁,  a₂ = a₁₀₂,  ... Известно, что  a₁ ≥ 0,  a₁ + a₂ ≤ 0,  a₁ + a₂ + a₃ ≥ 0  и вообще, сумма  a₁ + a₂ + ... + a_n  неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что  |a₉₉| ≥ |a₁₀₀|.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 102]      

Пусть  a₀, a₁, ..., a_n, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T   a_n+T = a_n  (n ≥ 0).  Докажите, что
  а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
  б) T делится на t.

Прислать комментарий

Решение

Дана бесконечная последовательность чисел a₁, ..., a_n, ... Она периодична с периодом 100, то есть  a₁ = a₁₀₁,  a₂ = a₁₀₂,  ... Известно, что  a₁ ≥ 0,  a₁ + a₂ ≤ 0,  a₁ + a₂ + a₃ ≥ 0  и вообще, сумма  a₁ + a₂ + ... + a_n  неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что  |a₉₉| ≥ |a₁₀₀|.

Прислать комментарий

Решение

В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями – елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного – одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного – тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами 2 и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период 3?

Прислать комментарий

Решение

Последовательность (a_n) такова, что  a_n = n²  при  1 ≤ n ≤ 5  и при всех натуральных n выполнено равенство  a_n+5 + a_n+1 = a_n+4 + a_n.  Найдите a₂₀₁₅.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 102]