Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что если у тетраэдра равны два противоположных
ребра, а суммы плоских углов при двух вершинах равны по
180
o ,
то все грани тетраэдра – равные треугольники.
Решение
На плоскости даны шесть точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком синего или красного цвета. Докажите, что среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.
Решение
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба
поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Решение
В углах шахматной доски 3×3 стоят четыре коня: два белых (в соседних углах) и два чёрных.
Можно ли за несколько ходов поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони различного цвета?
Решение
Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его
измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?
Решение
В правильной треугольной пирамиде
SABC (
S – вершина,
SA = 2
)
точка
D – середина ребра
SB . Расстояние от точки
C до прямой
AD
равно
. Найдите объём пирамиды.
Дана сфера радиуса
с центром в точке
C . Рассматриваются
всевозможные правильные тетраэдры
MNPQ такие, что точки
P и
Q лежат
на прямой
AD , а прямая
MN касается сферы в одной из точек отрезка
MN . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых
тетраэдров.
Решение
Фильтр
