Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры  MK₁, MK₂, ..., MK_n  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что      (O – центр n-угольника).

б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна     где O – центр тетраэдра.

   Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111309

Темы:   [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Касающиеся сферы ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены два шара σ1 и σ2 , касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар σ1 касается граней ABCD , CDD1C1 , ADD1A1 , а шар σ2 касается граней A1B1C1D1 , BCC1B1 , ABBA1 . Известно, что C1D1=22- , BC = 22 , AA1=22+ . Найдите расстояние между центрами шаров σ1 и σ2 . Найдите наименьший и наибольший суммарный объём шаров.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73647

Темы:   [ Линейная и полилинейная алгебра ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

В таблице размером m×n записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем  (n + m – 1)  чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109999

Темы:   [ Описанные многогранники ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение ] [ Площадь сферы и ее частей ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97793

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Правильный тетраэдр ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры  MK₁, MK₂, ..., MK_n  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что      (O – центр n-угольника).

б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна     где O – центр тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105166

Темы:   [ Двугранный угол ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Полярный трехгранный угол ] [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями