Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано: $$ a_1=1,a_k=\left[\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}\right].$$

Найти $a_{1000}$.

Примечание. $\left[A\right]$ — целая часть $A$.

   Решение

---

В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ острый. На стороне $AB$ отмечена такая точка $N$, что  $CN = AB$.  Оказалось, что описанная окружность треугольника $CBN$ касается прямой $AD$. Докажите, что она касается её в точке $D$.

   Решение

---

Пусть n и b – натуральные числа. Через  V(n, b)  обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  V(36, 2) = 5).  Докажите, что  V(n, b) < ⁿ/_b.

   Решение

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 412]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 102995

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существуют ли такие две функции  f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
  а)  f(f(x)) = x,  g(g(x)) = x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?
  б)  f(f(x)) < x, g(g(x)) < x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105131

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Подсчет двумя способами ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Индукция в геометрии ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116415

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Инварианты ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.
Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64717

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30.  Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что  A + B = C  и  C > 1000 rad(ABC)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64744

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Малые шевеления ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 412]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями