Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.
Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

   Решение

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 2440]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79401

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 11

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 88335

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Можно ли в кружочках расставить все цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма трёх чисел по любому из шести отрезков была бы одной и той же?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98028

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дано натуральное число n. Рассматриваются такие тройки различных натуральных чисел  (a, b, c),  что  a + b + c = n.  Возьмём наибольшую возможную такую систему троек, что никакие две тройки системы не имеют общих элементов. Число троек в этой системе обозначим через K(n). Докажите, что
  а)  K(n) > ⁿ/₆ – 1;
  б)  K(n) < ²ⁿ/₉.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98036

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., n},  не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (n + 1)! – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98236

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.
Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 2440]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями