Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]

Задача 107843

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Гальперин Г.А., Смоляков А.Н.

Положительные числа a, b и c таковы, что abc = 1. Докажите неравенство

≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111769

Темы:	[	Неравенство Коши	]
	[	Замена переменных	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Для положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 61339

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрические замены	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n $\geqslant$ 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

x_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$ , y_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$ , z_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$ , (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

Прислать комментарий

Решение

Задача 102828

Темы:	[	Симметрические системы. Инволютивные преобразования	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Замена переменных	]

Сложность: 3
Классы: 7,8

Решите систему уравнений:
xy(x + y) = 30
x³ + y³ = 35.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108984

Темы:	[	Иррациональные уравнения	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Замена переменных (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Найти все действительные решения уравнения

36/+4/=28-4-.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]