Страница:
<< 1 2 3
4 >> [Всего задач: 20]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть p(n) – количество разбиений числа n
(определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:
p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ... = (1 + x + x² + ...)...(1 + xk + x2k + ...)... = (1 – x)–1(1 – x²)–1(1 – x³)–1...
(По определению считается, что
p(0) = 1.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:
а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;
б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)–1(1 – x³)–1(1 – x5)–1...;
в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).
(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Вычислите, используя производящие функции, следующие суммы:
а) 
б) 
в) 
г) 
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи 61519 и равенством 
где
– обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Из первых k простых чисел 2, 3, 5, ..., pk (k > 5) составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например, 3·5,
3·7·... ·pk, 11 и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что S + 1 разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.
Страница:
<< 1 2 3
4 >> [Всего задач: 20]
Фильтр
