Страница:
<< 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 269]
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8
|
Путешественник, сняв в гостинице
комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных
колец — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет
рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны,
что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось
расплатиться с хозяином гостиницы?
Подсказка
Путешественник может отдать несколько скованных колец,
получив при этом сдачу кольцами.
Решение
Путешественник должен распилить 3е кольцо. Тогда
он получит три звена: первое — из одного кольца, второе — из двух,
третье — из четырех. В первый день путешественник даст хозяину
гостиницы 1 кольцо. Во второй — даст 2 кольца, заберёт 1. В третий —
даст 1 кольцо. В четвёртый — даст 4, заберёт 2 и 1 кольцо. В пятый —
даст 1 кольцо. В шестой — даст 2 кольца, заберёт 1. В последний
(седьмой) день даст 1 кольцо.
Ответ
Распилив третье кольцо, путешественник получит
1 кольцо, 2 и 4. Каждый день он будет либо давать 1 кольцо; либо
давать 2, забирать 1; либо давать 4, забирать 2 и 1.
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 5,6,7,8
|
Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно,
к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток
надо сделать, чтобы наверняка открыть все чемоданы? А сколько
понадобится попыток, если ключей и чемоданов будет не по 6, а по 10?
Подсказка
Попробуйте за пять попыток определить, к какому из 6 чемоданов
подходит первый ключ.
Решение
Стандартное неверное решение: "Каждый из шести чемоданов
пытаемся открыть каждым из шести ключей, всего попыток
6
6 = 36".
Можно найти соответствие между ключами и чемоданами за меньшее число
попыток.
Берём первый ключ и по очереди пытаемся открыть им чемоданы. Если один
из чемоданов открылся — прекрасно, отставляем в сторону этот чемодан
с этим ключом. Если же среди первых 5ти чемоданов ни один
не открылся, то значит этот ключ непременно соответствует шестому
чемодану. Что произошло? Мы использовали не более пяти попыток; у нас
осталось 5 ключей и 5 чемоданов.
Снова берём один ключ и открываем все оставшиеся чемоданы подряд. Для
того чтобы определить, какому чемодану соответствует этот ключ, нужно
четыре попытки. Берём следующий ключ и т.д. Всего понадобится
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 попыток. А если бы чемоданов было 10, число попыток
было бы
9 + 8 +...+ 2 + 1 = 45.
Ответ
15 попыток; 45 попыток.
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
|
Сломанный калькулятор выполняет только одну операцию "звездочка": a☆b = 1 – a : b.
Докажите, что с помощью этого калькулятора все же возможно выполнить любое из четырёх арифметических действий.
Подсказка
Начните с деления.
Решение
Деление: (a☆b)☆1 = 1 – ((a☆b) : 1) = 1 – (1 – a : b) = a : b.
Умножение: ab = a : (1 : b) = a : ((1☆b)☆1) = (a☆((1☆b)☆1))☆1.
Вычитание: a – b = (b☆a)·a = ((b☆a)☆((1☆a)☆1))☆1.
Сложение: a + b = a – (0 – b).
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Даны два бикфордова шнура, каждый из которых горит ровно минуту, если его поджечь с одного конца (но сгорать может неравномерно).
Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд? (Поджигать шнур можно с любого из двух концов.)
Подсказка
Можно поджигать один шнур в момент, когда другой полностью догорит.
Решение
Подожжём одновременно первый шнур с двух концов, а второй – с одного конца. Подожжённый с двух концов шнур сгорит в два раза быстрее, то есть за 30 секунд. В момент полного сгорания первого шнура поджигаем второй шнур со второго конца. Если бы мы не сделали этого, то второй шнур горел бы еще 30 секунд. Поэтому после того, как его подожгли со второго конца, ему осталось гореть 15 секунд. Итого с начального момента до момента полного сгорания второго шнура проходит 30 + 15 = 45 секунд.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Дана клетчатая таблица 99×99, каждая клетка которой окрашена в чёрный или в белый цвет. Разрешается одновременно перекрасить все клетки некоторого столбца или некоторой строки в тот цвет, клеток которого в этом столбце или в этой строке до перекрашивания было больше. Всегда ли можно добиться того, чтобы все клетки таблицы стали покрашены в один цвет?
Решение
Вначале применим описанное в условии перекрашивание к каждой строке таблицы. После этого каждая из строк состоит из клеток одного цвета. Это, в частности, означает, что в каждом из столбцов стало по одинаковому числу чёрных (белых) клеток. Теперь достаточно перекрасить каждый из столбцов – после этого все столбцы станут одноцветными, причём все они будут окрашены в один и тот же цвет.
Ответ
Всегда.
Страница:
<< 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 269]
Фильтр
