Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 288]

Задача 73812

Темы:	[	Полуинварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Графы (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Штейнберг А.М.

Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.

Прислать комментарий Решение

Задача 30771

Тема:

[

Инварианты

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Фишка ходит по квадратной доске, каждым своим ходом сдвигаясь либо на клетку вверх, либо на клетку вправо, либо по диагонали вниз-влево. Может ли она обойти всю доску, побывав на всех полях ровно по одному разу, и закончить на поле, соседнем справа от исходного?

Прислать комментарий Решение

Задача 109614

Темы:	[	Инварианты	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

Имеется три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму. (Если Сизиф не может расплатиться, то великодушный Зевс позволяет ему совершать перетаскивание в долг.) В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?

Прислать комментарий

Решение

Задача 30764

Темы:	[	Инварианты	]
Темы:	[	Вспомогательная раскраска	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Можно ли доску размерами 4 × N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?