Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 288]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени f1 и g1, что f + g = f1 + g1 или fg = f1g1. Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел a – d и b – c отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.
Несколько ребят стоят по кругу. У каждого есть некоторое количество конфет.
Сначала у каждого чётное количество конфет. По команде каждый передает половину
своих конфет стоящему справа. Если после этого у кого-нибудь оказалось нечётное
количество конфет, то ему извне добавляется одна конфета. Это повторяется много
раз. Доказать, что настанет время, когда у всех будет поровну конфет.
На шахматной доске N×N стоят N² шашек. Можно ли их переставить так, чтобы любые две шашки, отстоявшие на ход коня, после перестановки отстояли друг от друга лишь на ход короля (то есть стояли рядом)? Рассмотрите два случая:
а) N = 3;
б) N = 8.
Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 288]
Фильтр
