Страница:
<< 113 114 115 116
117 118 119 >> [Всего задач: 606]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что те натуральные K, для которых KK + 1 делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что 11983 + 21983 + ... + 19831983 делится на 1 + ... + 1983.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В каждой целой точке числовой оси расположена лампочка с кнопкой, при
нажатии которой лампочка меняет состояние – загорается или гаснет. Вначале все лампочки погашены. Задано конечное множество целых чисел – шаблон S. Его можно перемещать вдоль числовой оси как жесткую фигуру и, приложив в любом месте, поменять состояние множества всех лампочек, закрытых шаблоном. Докажите, что при любом S за несколько операций можно добиться того, что будут гореть ровно две лампочки.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?
Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел n – 1, n, n + 1, что:
a) n представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых
положительных) чисел, а n – 1 и n + 1 – нет;
б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.
Страница:
<< 113 114 115 116
117 118 119 >> [Всего задач: 606]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Теория чисел. Делимость
>>
Деление с остатком. Арифметика остатков
