Каталог по темам

Задачи

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 366]

Задача 60594

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a₁, a₂, ... – такая последовательность ненулевых чисел, что (a_m, a_n) = a_{(m, n)} (m, n ≥ 1).

Докажите, что все обобщенные биномиальные коэффициенты являются целыми числами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60756

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60757

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 5. Докажите, что если разрешимо сравнение x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78213

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде p + n^2k ни при каких простых p и целых n и k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78619

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число P = – простое.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 366]