Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый
фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее
количество фонарей может быть на дороге, если известно, что
после
выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?
Подсказка
Если отрезки, освещенные n-м и
(n+2)-м фонарями, пересекаются, то (n+1)-й фонарь можно
выключить.
Решение
Занумеруем фонари натуральными числами в
порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенные n-м и
(n+2)-м фонарями, пересекаются, то (n+1)-й фонарь можно
выключить.
Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами,
не
пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999
непересекающихся отрезков длины 1 м. Значит, фонарей не больше 1998.
Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных
отрезков
образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой
равен
0,5 м, а 1998-й равен 999,5 м. Между n-м и (n+2)-м
отрезком остается зазор в 1/1997 м. Его освещает только
(n+1)-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.
Ответ
1998.00
Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше 7°.
Подсказка
Через произвольную точку проведите 27 прямых, соответственно параллельных диагоналям данного девятиугольника.
Решение
У девятиугольника 9·6 : 2 = 27 диагоналей. Через произвольную точку проведём 27 прямых, соответственно параллельных этим
диагоналям. Они разделят полный угол на 54 угла. Поэтому один из них не больше 360°/54 < 7°.
На отрезке [0, 1] числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая [0, 1], что 
Решение
Точки a, b, c, d делят отрезок [0, 1] не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше 0,2. Пусть x – центр этого интервала. Расстояние от x до концов этого интервала не меньше 0,1, а до других точек из числа a, b, c, d – больше 0,1. Поэтому два из чисел |x – a|, |x – b|, |x – c|, |x – d| не меньше 0,1, а остальные два больше 0,1. Так что все обратные величины не больше 10, а две из них меньше 10. Следовательно, сумма этих обратных величин меньше 40.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
|
Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне
квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
Решение
Если среди этих девяти квадратов нет двух квадратов одинакового размера, то они все лежат в разных столбцах и в разных строках, на которые разбили прямыми исходный квадрат. Но тогда прямоугольник, лежащий на пересечении десятой строки и десятого столбца (не содержащих эти девять квадратов) – тоже квадрат.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике
имеется не более 35 углов, меньших
170
o .
Решение
Допустим, что это не так. Тогда в некотором выпуклом
n -угольнике есть не менее 36 углов, меньших
170
o
(остальные
n-36
углов не превосходят
180
o ).
Сумма всех углов выпуклого
n -угольника равна
180
o(
n-2)
.
Следовательно,
180o(n-2) < 170o· 36 + 180o(n-36),
т.е.
180
· 34
< 170
· 36
, или
6120
< 6120
, что невозможно.
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]
Фильтр
