Каталог по темам

Задачи

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 204]

Задача 58143

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 58144

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.

Прислать комментарий Решение

Задача 58145

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58117

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что существует такое число N, что среди любых N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 58118

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n) $\ge$ n - 3; б) P(n) $\le$ 2n - 7; в) P(n) $\le$ 2n - 10 при n $\ge$ 13.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 204]