Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 105]

Задача 66844

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Юран А.Ю.

Целое число $n$ таково, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$ имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение $x^2 + y^2 - xy = n$ имеет решение в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73829

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что если a, b, c, d, x, y, u, v – вещественные числа и abcd > 0, то

(ax + bu)(av + by)(cx + dv)(cu + dy) ≥ (acuvx + bcuxy + advxy + bduvy)(acx + bcu + adv + bdy).

Прислать комментарий

Решение

Задача 76524

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Доказать, что n² + 3n + 5 ни при каком целом n не делится на 121.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109491

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

Существуют ли такие натуральные числа x и y, что x² + x + 1 является натуральной степенью y, а y² + y + 1 – натуральной степенью x?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66426

Темы:	[	Формулы сокращенного умножения	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Найдите наименьшее значение выражения а⁴ – а² – 2а.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 105]