Задача 103741

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 7

Условие

Автор: Ященко И.В.

Электрик был вызван для ремонта гирлянды из четырёх соединённых последовательно лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды уходит 10 секунд, на завинчивание -- 10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, мало. За какое наименьшее время электрик заведомо может найти перегоревшую лампочку, если у него есть одна запасная лампочка?

Подсказка

Если после замены одной лампочки гирлянда не загорелась, то мы заменили исправную лампочку.

Решение

Предположим, что мы не заменяли какие-то две лампочки. Тогда, если нам не повезло и одна из них — перегоревшая, то мы не сможем определить, какая именно. Значит, для того, чтобы заведомо определить перегоревшую лампочку, необходимо вывинтить хотя бы три из них (30 секунд) и завинтить на их место какие-то другие (ещё 30 секунд).

Покажем, что 60 секунд всегда хватит. Вывинтим первую лампочку и завинтим на её место запасную (прошло 20 секунд). Если гирлянда загорелась, то нам повезло и хватило даже 20 секунд. Если же гирлянда не загорелась, значит, единственная неисправная лампочка ещё в гирлянде, а у нас в руках опять исправная. Теперь вывинтим вторую и завинтим на её место бывшую первую (в сумме прошло 40 секунд). Если нам опять не повезло, то вывинчиваем третью лампочку, а на её место завинчиваем бывшую вторую (в сумме прошло 60 секунд). Если гирлянда всё ещё не горит, то, значит, неисправна последняя лампочка. Решение засчитывалось и тем школьникам, которые добавляли ещё 20 секунд на замену последней лампочки.

Ответ

60 секунд.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1991
класс
	1
Класс	5,6
задача
Номер	2