Задача 105105

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Клепцын В.А.

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49, а в третьей – 5. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Решение

Заметим, что если в некоторый момент количество камней в каждой кучке делится на нечётное число a, то и во всех получаемых разрешёнными действиями кучках количество камней будет делиться на a. После первого хода можно получить три варианта размещения камней: кучки из 100 и 5 камней (общий делитель 5), из 56 и 49 камней (общий делитель 7), из 51 и 54 камней (общий делитель 3). Поэтому не удастся получить ни одной кучки из одного камня.

Ответ

Нельзя.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	64
Год	2001
вариант
Класс	9
задача
Номер	4