Задача 108128

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Акопян А.В.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH_A, BH_B и CH_C.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH_BH_C, BH_AH_C и CH_AH_B равен треугольнику H_AH_BH_C.

Подсказка

Докажите, что ортоцентры треугольников AH_BH_C, BH_AH_C, CH_AH_B и ABC – вершины параллелограмма.

Решение

Пусть P_A, P_B, P_C и H – ортоцентры треугольников AH_BH_C, BH_AH_C, CH_AH_B и ABC соответственно. Поскольку  H_BP_C || HH_A  и  H_AP_C || HH_B,  то четырёхугольник H_AP_CH_BH – параллелограмм. Аналогично H_CP_AH_BH – параллелограмм. Значит,  H_AP_C = HH_B = H_CP_A,  H_AP_C || HH_B || H_CP_A.  Поэтому и H_AP_CP_AH_C – параллелограмм. Следовательно,  P_AP_C = H_AH_C.  Аналогично P_BP_C = H_BH_C  и  P_AP_B = H_AH_B,  и треугольники P_AP_BP_C и H_AH_BH_C равны по трём сторонам.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 7, 10-11 кл. – 5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6478
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	6
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	64
Год	2001
вариант
Класс	10
задача
Номер	4