Задача 108140

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K так, что середина стороны AD равноудалена от точек K и C, а середина стороны CD равноудалена от точек K и A. Точка N – середина отрезка BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны.

Решение

  Пусть M – середина CD, а L – середина AD. Достроим параллелограмм ABCD до треугольника BA₁C₁ так, чтобы отрезок AC был средней линией этого треугольника. ACA₁D и CAC₁D – параллелограммы, а точки A, M и A₁ лежат на одной прямой. В треугольнике AKA₁ медиана KM равна половине AM стороны AA₁, значит,  ∠AKA₁ = 90°.  Аналогично  ∠CKC₁ = 90°.  Таким образом,  ∠CKA₁ = 90° – ∠A₁KC₁.

  Поскольку CN и AN – средние линии треугольников KBA и BKC₁, то  CN || KA₁ и AN || KC₁.  Следовательно,  ∠NCK = ∠CKA₁ = ∠C₁KA = ∠NAK.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6490
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	01.5.9.3