Задача 108220

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Авторы: Берлов С.Л., Кожевников П.А.

Окружность, вписанная в угол с вершиной O касается его сторон в точках A и B , K – произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны. Пусть M – точка пересечения окружности , описанной около треугольника KLB , с прямой AK , отличная от K . Докажите, что прямая OM касается окружности .

Решение

Обозначим OAK = α . Поскольку OA || KL , то
LKM = OAK = α.
По теореме об угле между касательной и хордой
ABK = OAK = α.
Вписанные в окружность углы LKM и LBM опираются на одну и ту же дугу, поэтому
LBM = LKM = α.
Тогда из точек A и B , лежащих по одну сторону от прямой OM , отрезок OM виден под одним и тем же углом α . Значит, точки A , B , O и M лежат на одной окружности. Поэтому
OMK = OMA = OBA = OBK + ABK =

= OBK + α = OBK + OBM= KBM = LBM.
Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, OM – касательная к окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6567
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	01.4.9.7