Задача 108221
|
|
 |
Условие
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.Решение
При гомотетии с центром K , переводящей вершину A в вершину C , луч AB переходит в противоположно направленный с ним луч CD , луч AD – в противоположно направленный с ним луч CB , окружность s1 , вписанная вписанная в угол BAD , – в окружность s2 , вписанную в угол DCB . Поскольку окружности s1 и s2 гомотетичны относительно их общей точки K , то они касаются в этой точке. Значит, у них есть общая касательная в точке K . Эта касательная перпендикулярна линии центров этих окружностей. Пусть другой точке K' диагонали AC соответствует другая пара окружностей s1' и s2' . Окружности s1 и s1' вписаны в угол BAD , следовательно, гомотетичны с центром в точке A , а значит, их касательные, проведённые в точках K и K' соответственно, параллельны. Тогда параллельны и перпендикулярные им линии центров пар окружностей s1 , s2 и s1' и s2' .
