|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда OA·OC = OB·OD.
Решение
Пусть точка O совпадает с точкой пересечения средних линий данного четырёхугольника. Обозначим через X и Y середины сторон AB и CD соответственно (рис. слева). Поскольку середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а средние линии четырёхугольника – диагоналями этого параллелограмма, то O – середина XY.
Обозначим ∠XPY = 2α, ∠BOX = β. Тогда ∠PXY = ∠PYX = 90° – α, а так как BOC – угол между биссектрисами внешних углов треугольника BPC, то
∠BOC = 90° – α, ∠COY = 180° – β – (90° – α) = 90° – β + α, ∠OCY = 180° – (90° – β + α) – (90° – α) = β = ∠BOX.
Значит, треугольники OXB и CYO подобны по двум углам. Следовательно, OB : OC = XO : YO. Аналогично OA : OD = XA : YO = XB : YO = OB : OC, откуда OA·OC = OB·OD.
Пусть теперь OA·OC = OB·OD (рис. справа). Заметим, что
∠AOB + ∠COD = (180° – ∠OAB – OBA) + (180° – ∠OCD – ∠ODC) = 360° – ½ (∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA) = 180°.
Поэтому, если достроить треугольники OAB и OCD до параллелограммов AOBK и OCLD, то эти параллелограммы будут подобны (так как
OA : AK = OA : OB = DO : OC). Поэтому треугольники OXB и CYO также будут подобны. Значит, ∠XOB = ∠OCY = ∠OCB, ∠COY = ∠XBO = ∠OBC.
Следовательно, ∠XOB + ∠BOC + ∠COY = ∠OCB + ∠BOC + ∠OBC = 180°, то есть точка O лежит на прямой XY. Аналогично она лежит на прямой, соединяющей середины двух других сторон четырёхугольника, что и требовалось.
