Задача 108971

Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Доказать, что если в треугольнике ABC со стороной  BC = 1  радиус r_a вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной окружности, то площадь треугольника численно равна 2r.

Решение

  Пусть O и O₁ – центры вписанной и вневписанной окружностей.

  Первый способ. Пусть OE ⊥ AC,  O₁E₁ ⊥ AC,  OE = r,  O₁E₁ = 2r,  AB = c,  AC = b,  BC = 1,  (см. рис.). Как известно (см. задачи 55483 и 55404),
EE₁ = BC = 1,  AE₁ = p,  AE = p – 1.  Из подобия треугольников AO₁E₁ и AOE имеем:  2r : r = p : (p – 1),  откуда  p = 2,  S_ABC = pr = 2r.

  Второй способ. ½ (b + c + 1)r = S_ABC = S_ABO1 + S _ACO1 – S_BCO1 = ½ (b + c – 1)r_a = (b + c – 1)r.  Отсюда  b + c = 3,  S_ABC = 2r.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 8.4