Задача 109509

Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Токарев С.И.

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(x^y)=f(x)^f(y) .

Решение

f(x)1 , f(x) x . Заметив, что f(x) 1 удовлетворяет условию задачи, будем искать другие решения. Пусть f(a)1 при некотором a>0 . Тогда из равенств f(a)^f(xy)=f(a^xy)=f(a^x)^f(y)=f(a)^f(x)· f(y) следует, что

f(xy)=f(x)· f(y) (1)
для любых x , y>0 . А тогда из равенств f(a)^f(x+y)=f(a^x+y)=f(a^x)· f(a^y)=f(a)^f(x)· f(a)^f(y)=f(a)^f(x)+f(y) следует, что
f(x+y)=f(x)+f(y) (2)
для любых x , y>0 . Из (1) имеем
f(1)=f(1· 1)=f(1)²,
т.е. f(1)=1 , а затем из (2) и (1) получаем
f(n)=f(1+..+1)=f(1)+..+f(1)=n, f()· n=f()· f(n)=f(m)=m,
т.е. для любых m , n
f()=. (3)
Предположим, что для некоторого x>0 имеет место неравенство f(x) x , скажем, f(x)<x (случай f(x)>x рассматривается аналогично). Подобрав число y= так, чтобы выполнялись неравенства
f(x)<y<x,
из (2) и (3) получаем противоречащее им неравенство.
f(x)=f(y+(x-y))=f(y)+f(x-y)>f(y)=y.
Итак, сделанное выше предположение неверно, поэтому f(x)=x для любого x>0 , и, разумеется, найденная функция годится.

Ответ

1, x .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	93.5.11.3