Задача 109516

Темы:    [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Купцов Л.

Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

Решение

Пусть A₁ и A₂ – точки, лежащие на первой окружности, а B₁ и B₂ – точки, лежащие на второй окружности. Обратимся к ситуации, изображенной на 1021 (случай, изображенный на 1022 рассматривается аналогично). Пусть точки A₃ , B₃ и B₄ симметричны точкам B₂ , A₁ и A₂ соответственно относительно точки O . По теореме о пересекающихся хордах B₃O· OB₁=B₂O· OB₄ , откуда OA₁· OB₁=OB₂· OA₂ , так как B₃O=OA₁ и OB₄=OA₂ . Это и означает, что точки A₁ , B₁ , B₂ и A₂ лежат на одной окружности.

В случае, показанном на 1021, B₂B₃=A₁A₃ в силу симметрии этих дуг относительно точки O . Поэтому A₃A₂A₁= B₃B₁B₂ , т.е. отрезок A₁B₂ виден из точек B₁ и A₂ под одинаковым углом, следовательно, точки A₁ , A₂ , B₁ и B₂ лежат на одной окружности. В случае, изображенном на 1022, B₂B₃=A₁A₃ , A₃A₂A₁= B₃B₁B₂ , но A₁A₂B₂=180^o- A₃A₂A₁ , поэтому B₃B₁B₂+ A₁A₂B₂=180^o .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1993
Этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	93.5.10.2