Задача 109553

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Калинин А.

Две окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S₁ и S₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S₂ в точке C и пересекает окружность S₁ в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

Решение

  Точки A, F и C лежат на одной прямой (см. задачу 109566). Докажем, что центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников ABC и BDE соответственно, лежат на AC. Поскольку общая хорда двух окружностей перпендикулярна линии центров и  BF ⊥ FC  (BC – диаметр S₂), отсюда следует утверждение задачи.
  Центр ω₁ лежит на AC, так как треугольник ABC – прямоугольный.
  Пусть радиусы S₁ и S₂ равны R и r соответственно. Тогда из прямоугольной трапеции BAO₁O₂, где O₁ и O₂ – центры S₁ и S₂, находим  AB = 2  (рис. слева).

           

  Проведём серединные перпендикуляры O₁N и O₁M к ED и AD соответственно (рис. справа). Из подобия треугольников AND и AMO₁ находим:
AD : AO₁ = AN : AM,  или  AD : R = 2r : ^AD/₂,  откуда  AD = 2 .   Таким образом,  AB = AD = AE,  то есть центр окружности ω₂ совпадает с A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	94.5.11.3