Задача 109558

Темы:    [ Уравнения с модулями ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Голованов А.С.

Даны три приведённых квадратных трехчлена:  P₁(x), P₂(x) и P₃(x). Докажите, что уравнение  |P₁(x)| + |P₂(x)| = |P₃(x)|  имеет не более восьми корней.

Решение

Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трёхчленов  ± P₁ ± P₂ ± P₃  с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трёхчлены, так как коэффициент при x² нечётен. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения  |P₁(x)| + |P₂(x)| = |P₃(x)|  содержатся среди корней четырёх квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	94.5.10.1