|
|
 |
Условие
Существует ли такое конечное множество M ненулевых действительных чисел, что для любого натурального n найдется многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого действительны и также принадлежат M?
Решение
Пусть M = {a1, a2, ..., ak} – произвольное множество ненулевых чисел, m = min {|a1|, |a2|, ..., |ak|}, M = max {|a1|, |a2|, ..., |ak|}. Тогда M ≥ m > 0. Рассмотрим многочлен P(x) = bnxn + bn–1xn–1 + ... + b1x + b0, все коэффициенты b0, b1, ..., bn и корни x1, x2, ..., xn которого принадлежат множеству M. По теореме Виета и
поэтому
Отсюда
то есть
Значит, при n > A нужного многочлена не существует.
Ответ
Не существует.
Замечания
Условие отличия чисел от нуля существенно, иначе подходило бы множество {0, 1}.
