Задача 109635

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Купцов Л.

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

Решение

   Докажем, что для всех натуральных n число  10⁸¹ⁿ – 1  делится на 729. Действительно,  10⁸¹ⁿ – 1 = (10⁸¹)ⁿ – 1  делится на  10⁸¹ – 1,  а
10⁸¹ – 1 = (10⁹ – 1)(10⁷² + 10⁶³ + ... + 1) = (10 – 1)(10⁸ + 10⁷ + ... + 1)(10⁷² + 10⁶³ + ... + 1).
   Второй сомножитель и третий сомножитель – числа, в записи каждого из которых содержится по 9 единиц, поэтому они делятся на 9. Следовательно,  10⁸¹ – 1  делится на  9³ = 729.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	96.5.9.5