|
|
 |
Условие
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Решение 1
Пусть P(x) = ax² + bx + c. Тогда
(P(xy))² – P(x²)P(y²) = (ax²y² + bxy + c)² – (ax4 + bx² + c)(ay4 + by² + c) =
= a²x4y4 + b²x²y² + c² + 2abx³y³ + 2acx²y² + 2bcxy – a²x4y4 – b²x²y² – c² – abx²y²(x² + y²) – ac(x4 + y4) – bc(x² + y²) =
= abx²y²(2xy – x² – y²) + ac(2x²y² – x4 – y4) + bc(2xy – x² – y²) = – abxy²(x – y)² – ac(x² – y²)² – bc(x – y)² ≤ 0.
Решение 2
Докажем, что утверждение задачи справедливо для произвольного многочлена с неотрицательными коэффициентами.
Пусть (любое неотрицательное число является квадратом). Тогда неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²) запишется в виде
Обозначив ak = ckxk, bk = ckyk, мы сведём задачу к известному неравенству Коши–Буняковского (см. задачу 61402 а).
