Условие
Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между
любыми двумя вершинами первого не больше
1
, расстояние между
любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше,
чем
1
/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.
Решение
Обозначим через
F1 и
F2 данные
многоугольники. Предположим, что они имеют общую внутреннюю точку. Возможны
два случая.
1)Один многоугольник содержится внутри другого, скажем,
F1 лежит внутри
F2 . Пусть
A – одна из вершин
F1 . Тогда, как легко видеть,
найдутся три вершины
P ,
Q ,
R многоугольника
F2 такие, что
треугольник
PQR содержит
A (случай, когда
A лежит на стороне
треугольника
PQR , легко приводит к противоречию). При этом хотя бы один из
углов
PAQ ,
QAR ,
RAP больше
90
o . Пусть, для определенности,
PAQo . Тогда имеем:
1
PQ2 AP2+AQ2 .
Получаем, что, вопреки условию, один из отрезков
AP и
AQ
не больше
– противоречие.
2)Сторона одного многоугольника пересекает сторону другого. Пусть,
например, сторона
AB многоугольника
F1 пересекает сторону
PQ
многоугольника
F2 . Пусть
APBQ – выпуклый четырехугольник
(случай, когда среди точек
A ,
B ,
P ,
Q найдутся три,
лежащие на одной прямой, легко рассматривается). Хотя бы
один из его углов, скажем,
PAQ , не меньше
90
o .
Тогда
1
PQ2 AP2+AQ2 , следовательно, один из
отрезков
AP и
AQ не больше
.
Получаем противоречие.
Источники и прецеденты использования
|
олимпиада |
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
год |
Год |
1998 |
Этап |
Вариант |
5 |
Класс |
Класс |
10 |
задача |
Номер |
98.5.10.2 |