Задача 109685

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Решение

Предположим противное. Пусть A, B, C, A_n, B_n,  n = 1, 2, ...  – соответственно точки –1, 1, 0, – 2^–n, 2^–n числовой прямой, a, b, c, a_n, b_n – целые числа, записанные в этих точках. Тогда  c < ½ (a + b),  a₁ < ½ (a + c),  a₂ < ½ (a₁ + c),  и т.д. Отсюда следует, что  max{a, c} > a₁.  Аналогично  max{a₁, c} > a₂,  max{a₂, c} > a₁,  max{b, c} > b₁,  max{b₁, c} > b₂,  ...  Если  a_m > c,  то  c < a_m ≤ a_m–1 – 1 ≤ ... ≤ a – m,  что при  m ≥ a – c  невозможно. Поэтому при
m ≥ max{1, a – c, b – c}  получаем  a_m ≤ c,  b_m ≤ c,  откуда  a_m + b_m ≤ 2c,  что противоречит нашему предположению.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	99.5.11.2