Задача 109748

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Раскраски ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Лифшиц Ю.

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

Решение

Уберем вершину A2000 данного многоугольника A₁A₂.. A2000 . Назовем средними диагоналями многоугольника A₁A₂.. A1999 отрезки, соединяющие вершины, номера которых отличаются на 999 или 1000. Рассмотрим все средние диагонали, их ровно 1999 штук. Заметим, что любые две из них пересекаются, из каждой вершины выходит ровно две средние диагонали. Поскольку 1999 > 2 · 999 , то найдутся три одноцветные средние диагонали, они попарно пересекаются в трех разных точках. Эти точки пересечения и являются вершинами искомого треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	01.5.9.4