Задача 109753

Темы:    [ Системы точек ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Берлов С.Л.

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

Решение

Первое решение. Рассмотрим любые 3 точки A , B и C , не лежащие на одной прямой (если все точки будут лежать на одной прямой, то утверждение задачи очевидно). Пусть T1 – система координат, в которой эти точки имеют целые координаты.

Рассмотрим любую из оставшихся точек, назовем ее D . Пусть T2 – система координат, в которой точки B , C , D имеют целые координаты. Поскольку квадрат длины отрезка BC в T1 и T2 будет целым, то отношение квадратов единиц измерения T1 и T2 – рациональное число. Но скалярное произведение векторов (,) в T2 – целое, значит, в T1 оно рационально, поскольку произведение длин этих векторов в T1 будет рационально относиться к произведению их длин в T2 , а косинус угла не изменится.

Аналогично, (,) рационально. Пусть в T1 – это (x,y) , – это (z,t) , – это (p,q) . Тогда px+qy=m и pz+qt=n – рациональны, откуда p= , q= – рациональные числа (поскольку xt-yz0 , так как A , B , C не лежали на одной прямой). Следовательно, точка D в T1 имеет рациональные координаты. Тогда, выбрав другую единицу измерения, можно координаты всех точек сделать целыми.


Второе решение. Как и в первом решении, можно считать, что в нашем множестве найдутся точки A , B , C , не лежащие на одной прямой. Докажем, что tg BAC – либо рациональное число, либо не существует.

Рассмотрим координаты этих точек в системе, соответствующей тройке A , B , C . Если x_A=x_B (случай x_A=x_C аналогичен), то tg BAC= рационален (или не существует). Если же x_B x_A и x_C x_A , то числа p= и q= рациональны.

Но p= tgα , q= tgβ , где α и β – углы, образуемые лучами AB и AC с положительным направлением оси Ox , поэтому из формулы tg CAB= tg(β-α)= следует рациональность tg BAC (или тангенс не существует, если pq=-1 ). Аналогично, рациональными являются тангенсы углов всех треугольников с вершинами в данных точках.

Рассмотрим систему координат с центром A и единичным вектором по оси Ax , равным . Для любой точки D нашего множества tg DAB и tg DBA рациональны, поэтому уравнения прямых AD и BD имеют рациональные коэффициенты. Тогда и точка D имеет рациональные координаты. Изменив масштаб, мы получим целочисленные координаты у всех точек.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	02.5.11.2