|
|
 |
Условие
На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H1 и H2 являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H1H2 проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X ≠ Q, Y ≠ Q.)
Решение
Рассмотрим окружности ω1 и ω2, построенные на диагоналях AC и BD как на диаметрах. Пусть BB1, CC1, AA1, DD1 – высоты треугольников BPC и APD, соответственно (точки A1 и C1 лежат на ω2, B1 и D1 – на ω1). Тогда точки A, D1, A1, D лежат на одной окружности, поэтому H1A·H1A1 = H1D·H1D1, то есть H1 лежит на радикальной оси ω1 и ω2. Аналогично H2 также на ней лежит, следовательно, эта радикальная ось есть прямая H1H2.
Так как точка X по условию лежит на радикальной оси ω1 и ω2, то XM² – CM² = XN² – DN². Но треугольники XAC и XBD подобны, так как
∠XAQ = ∠XBQ, ∠XCQ = ∠XDQ, следовательно, эти разности квадратов должны относиться как квадрат коэффициента подобия или равняться нулю.
Во втором случае ∠AXC = ∠BXD = 90°, но тогда прямые AB и CD перпендикулярны (так как одна из них получается из другой поворотной гомотетией с углом 90° и центром X), что противоречит различности точек H1 и H2. Значит, треугольники AXC и BXD равны. Но тогда равны и треугольники AYC и DYB, так как они подобны (по причинам, аналогичным подобию треугольников AXC и BXD) и имеют равные соответственные стороны (AC = BD).
Значит, степени точки Y относительно окружностей ω1 и ω2 равны (так как YM = YN, MC = ND), поэтому она лежит на той же радикальной оси.
