Задача 109806

Темы:    [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Покрытия ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Дольников В.Л.

Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного многоугольника M . Треугольник T' получается из треугольника T центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T . Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M .

Решение

Первое решение. Пусть O –центр симметрии многоугольника, A , B , C – вершины T , A' , B' , C' – соответствующие вершины T' ; пусть Δ ABC при симметрии относительно O переходит в Δ A₀B₀C₀ (лежащий в M ). Если O=P , утверждение очевидно. Пусть d – луч прямой OP с вершиной в P , не содержащий O . Тогда d пересекает одну из сторон ABC , скажем, AB .

Рис. 1
Рассмотрим параллелограмм ABA₀B₀ , лежащий в M . Прямая OP высекает в нем отрезок, симметричный относительно O ; тогда отрезок A'B' пересекается с этой прямой во внутренней точке K параллелограмма (см. рис. 1) . Теперь, поскольку A'B'|| AB|| A₀B₀ , то одна из точек A' и B' лежит в этом параллелограмме (или на его границе), иначе A'B'>AB , что неверно.

Второе решение. Докажем простую лемму: если на плоскости дан треугольник XYZ и точка S , то треугольник XYZ покрывается треугольниками SXY , SYZ , SZX .

Действительно, прямые XY , YZ , ZX разбивают плоскость на 7 частей (см. рис. 2) . Если S лежит в части 1, то Δ XYZ = Δ SXY Δ SYZ Δ SZX ; если S лежит в части 2, то Δ XYZ Δ SYZ (рассмотрения для частей 3, 4 аналогичны); если S лежит в части 5, то Δ XYZ Δ SXY Δ SZX (рассмотрения для частей 6, 7 аналогичны).

Перейдем к решению задачи.
Обозначим через O центр симметрии многоугольника M , через A , B , C – вершины треугольника T , а через A₁ , B₁ , C₁ – середины сторон BC , CA , AB соответственно.
          
Рис. 2                             Рис. 3
Рассмотрим многоугольник V_A , являющийся выпуклой оболочкой точек O , A , B₁ , C₁ . Заметим, что V_A покрывает Δ A B₁C₁ .

Определим также V_B и V_C как выпуклые оболочки четверок O , B , C₁ , A₁ и O , C , A₁ , B₁ . При этом V_B покрывает Δ B A₁ C₁ , V_C покрывает Δ C A₁B₁ . Кроме того, V_A Δ O B₁ C₁ , V_B Δ O C₁ A₁ , V_C Δ O A₁ B₁.
Отсюда, применяя лемму, получаем, что объединение V многоугольников V_A , V_B , V_C покрывает Δ A₁ B₁C₁ . Итак, V покрывает объединение треугольников A B₁ C₁ , B A₁ C₁ , C A₁ B₁ , A₁ B₁ C₁ , т.е. V покрывает Δ A B C . Это означает, что один из многоугольников V_A , V_B , V_C содержит точку P , пусть, для определенности, P V_A (см. рис. 3).

Пусть A' – вершина треугольника T' , т.е. точка, симметричная точке A относительно P ; пусть D – точка, симметричная точке A относительно O . При гомотетии с центром в точке A и коэффициентом k=2 точка P перейдет в A' , O перейдет в D , C₁ перейдет в B , B₁ перейдет в C . Следовательно, многоугольник V_A перейдет в выпуклую оболочку U точек D , A , C , B , причем точка A' содержится в U .

Так как A, B, C M и M симметричен относительно O , то D M . Поскольку M – выпуклый, U M .
Значит, A' M , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	04.5.10.7