Задача 109807

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Чернышов Е., Богданов И.И.

Существует ли такое натуральное число  n > 10¹⁰⁰⁰,  не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?

Решение

  Приведём пример такого числа. Пусть  n = 13·1...1 = 14...43,  количество единиц мы подберём позже. Если переставить единицу и тройку, то получится число  34...41 = 31·1...1.
  При этом, если наше число из одних единиц делится на  13·31 = 403,  то простыми делителями обоих чисел будут в точности его простые делители. Существование такого числа доказано в задаче 60739.

Ответ

Существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	04.5.10.8