Задача 109853

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Гомотетичные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Скробот Д.

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

Решение

  Пусть M– вторая точка пересечения ω со стороной AC. При гомотетии с центром A, переводящей окружность ω в Ω, прямая MK переходит в прямую CB, а следовательно, они параллельны (см. рис.)

  Значит,  AMK = ∠ACB = ∠ACT.  Из вписанности четырёхугольника AMLK имеем  ∠AMK = ∠ALK = ∠ALT.  Отсюда  ∠ACT = ∠ALT,  то есть ATLC – вписанный четырёхугольник. Следовательно,  ∠CTA = ∠CLA = ∠LKA, и значит,  ∠BTA = ∠BKT.  Поэтому треугольники BTA и BKT подобны по двум углам, откуда  BT² = BK·BA.
  C другой стороны, произведение BK·BA равно квадрату касательной, проведённой к ω из точки B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.5.9.4