Задача 109877

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Правильные многоугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кузнецов Д.Ю.

Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.).

Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.

Решение

Общее количество узлов равно  2·(6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 91.  Каждый узел, за исключением центрального, принадлежит одной из 11 концентрических окружностей с центром в центре шестиугольника (см. рис.).

Предположим, что не существует пяти отмеченных узлов, лежащих на одной окружности. Тогда общее количество отмеченных узлов не больше
11·4 + 1 = 45,  то есть не более половины. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	95.4.9.7