Задача 109882

Темы:    [ Итерации ] [ Уравнения с модулями ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Нецветаев Н.

Дана функция f(x) = | 4 - 4|x|| - 2 . Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x ?

Решение

Пусть x₀ – решение уравнения f(f(x)) = x , а y0 = f(x₀) . Тогда и x0 = f(y₀) , а потому точка с координатами (x₀,y₀) лежит на каждом из графиков y = f(x) и x =f(y) . Наоборот, если точка (x₀,y₀) лежит на пересечении этих графиков, то y₀ = f(x₀) и x₀ = f(x₀) , откуда f(f(x₀)) = x₀ . Тем самым показано, что число решений уравнения f(f(x)) = x совпадает с числом точек пересечения графиков y = f(x) и x = f(y) , а их 16 (см. рис.) .

Ответ

16.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	96.4.11.5