Задача 109933
|
|
 |
Условие
Найдите все такие пары простых чисел p и q, что p³ – q5 = (p + q)².
Решение
Пусть ни одно из чисел p, q не делится на 3. Если остатки от деления p и q на 3 совпадают, то левая часть делится на 3, а правая – нет; если эти остатки не совпадают, то правая часть делится на 3, а левая – нет.
Пусть p = 3. Из равенства 27 – q5 = (3 + q)² > 0 следует, что q5 < 27. Это невозможно.
Пусть, наконец, q = 3. Тогда p³ – 243 = (p + 3)², p(p² – p – 6) = 252. Значит, p – простой делитель числа 252, то есть 2, 3 или 7. Проверка оставляет только p = 7.
Ответ
p = 7, q = 3.
