Задача 109954
|
|
 |
Условие
Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
Решение
Пусть x1 – общий корень рассматриваемых трёхчленов, а x2 и x3 – два других (различных) корня. Тогда один из трёхчленов равен (x – x1)(x – x2), а другой – (x – x1)(x – 3).
Допустим, при каком-то натуральном n выполнены равенства (n – x1)(n – x2) = 19 и (n – x1)(n – x3) = 98. Тогда целое число n – x1 должно быть общим делителем взаимно простых чисел 19 и 98 и, значит, должно равняться 1 или –1. Но в обоих случаях x1 ≥ n – 1 ≥ 0, что противоречит условию.
Ответ
Не могут.
